먼저 알아둘 용어
LC 탱크와 공진: 인덕터 L과 커패시터 C가 에너지를 주고받는 회로를 LC 탱크라고 합니다. 공진은 특정 주파수에서 두 소자의 특성이 맞물리는 현상이며, 그것만으로 지속적인 발진이 생기지는 않습니다.
교차 결합: 두 소자의 출력을 서로 반대쪽 입력에 연결한 구조입니다. 이 글에서는 차동으로 움직이는 두 출력 사이에서 회로의 특성을 봅니다.
음의 저항: 소신호 관점에서 에너지를 소모하지 않고 오히려 공급하는 능동 회로의 단자 특성입니다. 전원 없이 에너지를 만드는 실제 저항 부품을 뜻하지 않습니다.
트랜스컨덕턴스 gm: 입력 전압의 작은 변화가 출력 전류를 얼마나 바꾸는지 나타낸 값입니다. 소자의 동작점에 따라 달라지므로 발진 시작 조건과 큰 진폭에서의 동작을 구분해야 합니다.
공진한다고 발진이 시작되지는 않습니다
이상 LC 탱크의 고유 각주파수는 ω₀=1/√(LC), 주파수는 f₀=1/(2π√(LC))입니다. 실제 인덕터·커패시터·배선·부하가 에너지를 잃으면 외부 공급 없이 진동이 감쇠합니다. 공진 주파수를 계산했다고 해서 회로가 스스로 발진하는 것은 아닙니다.
인덕터에 직렬 손실 Rs가 있다면 특정 각주파수 ω에서 그 가지의 등가 병렬 저항은 Rp=[Rs²+(ωL)²]/Rs입니다. 높은 Q에서 약 (ωL)²/Rs로 근사합니다. 병렬 인덕턴스도 함께 바뀌므로, 모든 주파수에서 통하는 고정 저항으로 바꿔 놓을 수는 없습니다. 커패시터 손실과 출력 부하까지 같은 탱크 포트에 환산해야 합니다.
두 출력 사이에서 본 −2/gm
대칭인 교차 결합 MOS 쌍에서 각 소자의 상호컨덕턴스를 gm이라 하고, 두 출력 사이의 차동 전압 vx와 그 포트로 들어가는 전류 ix를 정의합니다. 소신호 이상 모델에서 ix=−(gm/2)vx이므로 차동 포트의 등가 저항은 −2/gm입니다. 한쪽 출력의 반회로 값을 전체 차동 포트 값과 섞으면 2배 오류가 생깁니다.
같은 포트에 환산한 탱크의 병렬 손실 저항을 Rp라고 하면 전체 소신호 전도도는 1/Rp−gm/2입니다. 이 값이 음수가 되는 gmRp>2가 단순 모델에서 발진이 시작되는 조건입니다. 음의 저항 크기가 손실 저항보다 커야 한다는 말이 아니라, 손실을 상쇄하는 전도도의 크기가 더 커야 합니다.
시작 여유와 정상 진폭을 구분합니다
Rp=2 kΩ이고 각 소자의 gm=2 mS라면 gmRp=4로 이 모델의 시작 기준 2를 넘습니다. gm=0.5 mS면 곱은 1이어서 넘지 못합니다. 이 예시는 모델을 검산한 것이므로, 실제 발진기의 공정·온도·전원 여유는 따로 확인해야 합니다.
진폭이 커지면 소자의 전류·전압 한계와 비선형성으로 유효 공급 에너지가 달라져 손실과 균형을 이룹니다. 초기의 음의 저항만으로 정상 진폭·위상 잡음·주파수 정확도를 예측할 수는 없습니다. 능동 소자의 기생 용량과 출력 저항, 바이어스 회로·부하도 발진 조건에 영향을 줍니다. 에너지는 DC 전원에서 오며 수동 탱크가 에너지를 만들어 내는 것은 아닙니다.
근거와 범위
UC Berkeley EE142 Module 23의 교차 결합 쌍 차동 포트 모델을 참고했습니다. 병렬·직렬 변환과 위 수치는 같은 포트·주파수 기준에서 검산했습니다.
For the stated differential-port convention, a symmetric cross-coupled pair presents -2/gm. Compare conductances at that same port: gm Rp > 2 is a small-signal start-up condition, not a steady-amplitude or phase-noise prediction.